Une énigme 2 pour AZ

AZ

Salam,

Ippo a écrit:

AZ a écrit:

Salam,

Ippo a écrit:

Salam

je suis un nombre, quand on m'élève au cube, je deviens la somme des chiffres composant mon cube, qui suis je?

Je dirais que tu es {0,1,8,17,18,26,27} !

PS: j'ai une "démo" qui va avec, si ça peut intéresser des gens ?

PPS: tout ça bien entendu sous réserve de pas racontage de conneries de ma part.

Salam
aleikom

oui la limite incluse est 27!

si je me rappelle bien je pense que tu as cités tous les nombres.

balances ta démo

C'est bizarre, je suis pas étonné de lire qu'à part toi, personne d'autre n'a demandé de balancer la "demo" lol!

M'enfin bref, voici comment je vois le truc:

Problème: On cherche A€N tel que:
A^3 = b0*10^0+b1*10^1+...bm*10^m
où A = a0*10^0+a1*10^1+...an*10^n
et b0+b1+...bm = A = a0*10^0+a1*10^1+...an*10^n
et bien sûr ai€[|0;9|] et bi€[|0;9|]

remarque importante: an est le coefficient devant la plus grande des puissance des 10.

Or A = a0*10^0+a1*10^1+...an*10^n
donc A^3 = a0^3*10^0+a1^3*10^1+...an^3*10^n = b0*10^0+b1*10^1+...bm*10^m

de plus, par construction, b0+b1+...bm <= 9(m+1)
donc a0*10^0+a1*10^1+...an*10^n <= 9(m+1)

1er cas: an=0, donc A=0 d'après la remarque (le cas triviale)

2ième cas: an <> 0
1er sous cas: 1<= an <= 2
donc an^3=c0*10^0 où ci€[|0;9|]
donc A^3=...+c0*10^3n = ...+bm*10^m => m=3n

or 1<= an donc 10^n <= an*10^n
donc 10^n <= a0*10^0+a1*10^1+...an*10^n <= 9(m+1)
donc 10^n <= 9(m+1)
donc 10^n <= 9(3n+1)
ie 10^n-27n-9 <= 0

n = 0 convient
n = 1 convient
n => 2 convient plus

2ième sous cas: 3<= an <= 4
donc an^3=c0*10^0 + c1*10^1 où ci€[|0;9|]
donc A^3=...+c1*10^(3n+1) = ...+bm*10^m => m=3n+1

or 3<= an donc 3*10^n <= an*10^n
donc 3*10^n <= a0*10^0+a1*10^1+...an*10^n <= 9(m+1)
donc 3*10^n <= 9(m+1)
donc 3*10^n <= 9(3n+2)
ie 3*10^n-27n-18 <= 0

n = 0 convient
n = 1 convient
n => 2 convient plus

3ième sous cas: 5<= an <= 9
donc an^3=c0*10^0 + c1*10^1 + c2*10^2 où ci€[|0;9|]
donc A^3=...+c2*10^(3n+2) = ...+bm*10^m => m=3n+2

or 5<= an donc 5*10^n <= an*10^n
donc 5*10^n <= a0*10^0+a1*10^1+...an*10^n <= 9(m+1)
donc 5*10^n <= 9(m+1)
donc 5*10^n <= 9(3n+3)
ie 5*10^n-27n-27 <= 0

n = 0 convient
n = 1 convient
n => 2 convient plus

Au final, seuls n=0 et n=1 conviennent,
donc A = a0*10^0+a1*10^1

donc les solution envisageables sont 0,1,...99
en les calculant sous excel par exemple, on trouve A = {0;1;8;17;18;26;27}

PS: il y a sûrement moyen de faire plus court et plus élégant je pense.

_________________
Et rappelez vous que vous êtes unique comme tout le monde !

Ippo

Salam Az

c'est effectivement cela l'esprit de la démonstration.

majorer les solutions par un argument abstrait et ensuite faire au cas par cas avec un outil concret informatique.

c'est une démonstration juste .

la seule chose qui est frustrant c'est que lire a_n10^n+a_n-1 etc ca tue les yeux lol

mais je vois que tu as gardé les rudiments de l'arithmétique et de la logique simple.

très peu de gens savent refaire cela même ceux qui passent par des licence sépcialisée en maths.

félicitations.

AZ

Salam,

Ippo a écrit:

Salam Az

c'est effectivement cela l'esprit de la démonstration.

majorer les solutions par un argument abstrait et ensuite faire au cas par cas avec un outil concret informatique.

c'est une démonstration juste .

la seule chose qui est frustrant c'est que lire a_n10^n+a_n-1 etc ca tue les yeux lol

mais je vois que tu as gardé les rudiments de l'arithmétique et de la logique simple.

très peu de gens savent refaire cela même ceux qui passent par des licence sépcialisée en maths.

félicitations.

c'est claire ça fait mal aux yeux lol!

PS: tu penses qu'on peut demander un éditeur d'équations à Ilham ?

PPS: j'attends que tu nous donnes une démonstration élégante de ce truc Very Happy

_________________
Et rappelez vous que vous êtes unique comme tout le monde !

Ippo

Salam

tu devrais faire la demande à ilham.

sinon c'est ta démonstration qu'il falait faire, elle ne diffère pas de la tienne. majorer les solutions puis faire le cas par cas, tout simplement.