Les nombres premiers

salam

par intuition, ils sont infini , aucune forumle pour les connaitre tous...

salam ,

c'est bête et logique de ne pas pouvoir demontrer lol , c'est tout a fait comme on ne pourra jamais compter jusqu'a l'infini .

ALijan a écrit:

salam ,

c'est bête et logique de ne pas pouvoir demontrer lol , c'est tout a fait comme on ne pourra jamais compter jusqu'a l'infini .

Salam

la suite....

détrompes toi!
on peut démontrer qu'il en existe une infinité.
Les maths, c'est abstrait, dans la réalité, si je te demande de me démontrer qu'il existe une infinité d'étoile ou s'il en existe pas une infinité, tu me dira: " je peux pas, car:

-s'il en existe une infinité, je vais me mettre à les compter toutes et je vais jamais marrêter.

-s'il en existe un nombre fni, tu vas les compter, déjà que c'est trés long, mais en plus il faut que tu démontres qu'il en existe pas plus. tu vas me dire, ben j'en vois plus! ne pas voir ne signifie pas ne pas exister..."

Donc ici, pour les nombres premiers, on peut le démontrer. Dans la réalité, comme tu dis Alijan, il s'agit de compter, c'est à dire dénombrer. Mais dans l'abstrait, tu peux éviter le dénombrement. Car dénombrer de démontre rien, comme je t'ai dis, si c'est infini, tu ne t'arrèteras jamais, et si tu en comptes un nombre fini, encore faut il que tu démontres que tu as tout dénombrés. t'as pigés?


Le raisonnement par l'absurde!! c'est un des raisonnements les plus fondamental des mathématiques et de la logique. ce genre de raisonnement permet de démontrer une mutltitude de résultats. en quoi consiste ce raisonnement. Ce nom l'indique, l'absurde!
Je suppose que le contraire est vrai et je prouve que c'est absurde, du coup le "truc" est vrai et non son contraire. Car en mathématique, en logique, soit c'est vrai, soit c'est faux. Il n'ya pas d'état intermédiaire, donc si tu démontres que le contraire est faux, donc c'est vrai!!!!

Supposons le contraire, à savoir qu'il existe un nombre fini de nombre premiers.

Nous allons les appeler p1, p2 ...... pK

exemple, p1=2, p2=3, p3=5 etc ... et pK, c'est le plus grand que l'on a trouvé.

Maintenant rappelons nous de la définition d'un nombre premier. C'est un nombre qui ne se divise que par 1 ou par lui même. Exemple 11.
qu'est ce que ca signifie? ca signifie qu'il n'est pas divisible par les autres nombre inférieur à lui, puisque les supérieur ne le divise pas de manière naturelle et évidente.

Exemple: 11 n'est pas divisible par 2,3,4,5,6,7,8,9,10

Donc pour vérifier qu'un nombre est premier, il y'a une méthode bête et barbare, c'est de tenter de le diviser par tous les nombres inférieurs, comme pour 11. si tu essayes de le diviser par 2,3,...,10, ca ne donnera aucun résultat entier.
Alors que 15 est divisible par 3. à savoir 15=5*3

Cependant diviser par tous les nombres inférieurs, c'est trop long. Y'a ne méthode beaucoup plus économe. C'est de diviser par les nombres premiers inférieurs à celui ci, les autres sont inutiles! Je vais l'expliquer dans la suite...

Prenons un entier n, exemple 58.

n est soit premier, soit il ne l'est pas.

-si n est premier, c'est terminé!
-si n n'est pas premier, il est divisible par un nombre inférieur. On va l'appeler m. exemple 58 est divisible par 29!

Maintenant m est soit premier, soit il ne l'est pas.

-si m est premier, donc n est divisible par un nombre premier.
-si m n'est pas premier, alors m est à son tour divisible par un autre nombre p.

et ainsi de suite, comme m divise n, m<n et comme p divise m, p<m.
Donc on a: .....<p<m<n
En fait on construit une suite de nombre décroissante jusqu'à 1.
Donc cette suite s'arrête forcément, car il y'a une frontière "1".
avant ce 1, il y'a un nombre, c'est le dernier nombre différent de 1.
e nombre est forcément premier, car s'il ne l'est pas, il y'uarait juste aprés un autre divisieur.

Autrement dit, on vient de démontrer qu'un nombre, soit il est premier, soit il est divisible par un autre nombre qui est premier.
Donc il suffit de vérifier s'il est divisible par un nombre premier, s'il ne l'est pas, il est premier.

courage!

Pourquoi racontez tout ce blabla? pour notre démonstration sur l'infinité.
On a dit que on suppose qu'il existe un nombre fini de nombre premier, à savoir p1, p2, p3, ......... pk
Maintenant prenons le nombre p1*p2*p3*....*pk + 1.
ce nombre n'est pas premier d'aprés notre hypothèse, donc il est divisbile par un entier, donc au final par un nombre premier. Or dans notre hypothèse, on a la liste {p1, p2, .... pk}. donc essayons de diviser p1*p2*p3*....*pk + 1 par p1 puis p2 puis .... pk!

Encore un raisonnement par l'absurde:
Si p1*p2*p3*....*pk + 1 est divisible par p1, alors il existe un nombre x tel que:
p1*p2*p3*....*pk + 1 = p1*x
=> p1*p2*p3*....*pk + 1-p1*x= 0
=> p1*p2*p3*....*pk-p1*x +1 = 0
=> p1*( p2*p3*....*pk - x) + 1= 0
=> 1 = - p1*( - x)
=> 1= p1 * ( x - p2*p3*....*pk )

Autrement dit p1 divise 1, donc est égale à 1. absurde, p1 est premier en l'occurence, on a dit que c'était le premier à savoir 2!!!!!

conclusion: p1 ne divise pas p1*p2*p3*....*pk + 1 .

Ce raisonnement fonctionne pour p2 etc.... pk!
autrement dit, tous les nombres premiers inférieurs à p1*p2*p3*....*pk + 1 ne le divise pas! donc p1*p2*p3*....*pk + 1 est premier absurde les gas... par hypothèse pk était le dernier nombre premier.

Conclusion: supposer que il existe un nombre fini de nombre premier est absurde, donc ils sont infinis!!

tu vois Alijan, on peut démontrer qu'il existe un nombre infini de truc sans les dénombrer.






-

Salam Ken,

ken le survivant a écrit:

maintenant, faut demander à AZ de vérifier mon blabla, qui sait? je me suis peut être tromper!

Je pense que tu dois être bien content qu'on ait enfin cette section .

Pour ta démonstration, eh bien c'est assez joli !

Ca commence à remonter loin tout ça pour moi, mais j'ai un vague souvenir d'une démonstration assez proche de la tienne:

Comme toi, je suppose que le plus grand nombre premier est Pk, alors

P1*P2*...Pk+1 = Pi*p car le plus grand nombre premier étant Pk, P1*P2*...Pk+1 n'est pas premier, donc divisible par un des nombres premiers de la suite, ici Pi.

D'où P1*P2*...Pk+1 = Pi*p avec p€N
en divisant le tout par Pi: P1*P2...Pi-1*Pi+1...Pk + 1/Pi = p, donc
1/Pi = p - P1*P2...Pi-1*Pi+1...Pk

or (p - P1*P2...Pi-1*Pi+1...Pk)€Z, et pas 1/Pi, donc absurde, donc Pk n'est pas le plus grand nombre premier.

Donc à chaque fois qu'on trouve un nombre premier, on est sur et certain qu'il y en a un autre plus grand.

PS: réflexion faite, c'est exactement la même démo que la tienne.

Salam,

moi malgré le fait que je sois en option Math Forte au Lycée , je dois avoué que je deteste les maths , ils s'arrangent tojours pour reussir a démontrer quelque chose , par exemple l'artifice de calcul ( + x -x ) ca veut tellement rien dire ce truc mdr .

Enfin bref je vais me renseigner pour trouver la demonstration des nombres premiers et je vais vous montrer que c'est de la grosse connerie ^^

Citation :

Salam Ken,
ken le survivant a écrit:
maintenant, faut demander à AZ de vérifier mon blabla, qui sait? je me suis peut être tromper!

Je pense que tu dois être bien content qu'on ait enfin cette section .

Pour ta démonstration, eh bien c'est assez joli !

Ca commence à remonter loin tout ça pour moi, mais j'ai un vague souvenir d'une démonstration assez proche de la tienne:

Comme toi, je suppose que le plus grand nombre premier est Pk, alors

P1*P2*...Pk+1 = Pi*p car le plus grand nombre premier étant Pk, P1*P2*...Pk+1 n'est pas premier, donc divisible par un des nombres premiers de la suite, ici Pi.

D'où P1*P2*...Pk+1 = Pi*p avec p€N
en divisant le tout par Pi: P1*P2...Pi-1*Pi+1...Pk + 1/Pi = p, donc
1/Pi = p - P1*P2...Pi-1*Pi+1...Pk

or (p - P1*P2...Pi-1*Pi+1...Pk)€Z, et pas 1/Pi, donc absurde, donc Pk n'est pas le plus grand nombre premier.

Donc à chaque fois qu'on trouve un nombre premier, on est sur et certain qu'il y en a un autre plus grand.

tu te casse la tete.....lol
^^

Salam,

GanGzTazAfGIRL a écrit:

tu te casse la tete.....lol
^^

mais non je me casse pas la tête, c'est trop simple comme problème

PS: je plaisante hein, n'allez pas croire que je suis un matheux comme Ken

Salam,

ken le survivant a écrit:

Salam

ta démonstration est bonne, d'ailleurs elle reprend la mienne
mais juste un petit soucis de rigueur. On discute de nombre premier, or les nombres premiers n'ont de sens que dans les entiers N. Or tu divise 1 par Pi et 1/Pi est rationnel. Donc ta démonstration se situe dans l'ensemble Q. donc il faut quand même signaler que tu te plonge dans l'ensemble Q.
c'était juste pour faire chier le monde.

oui justement, c'est là où apparaît la contradiction, puisqu'on a d'un côté de l'égalité quelque chose qui est dans N (ou Z) et de l'autre quelque chose qui est dans Q\N