Salam,
- Ippo a écrit:
- AZ a écrit:
- Salam,
- Ippo a écrit:
- Salam
je suis un nombre, quand on m'élève au cube, je deviens la somme des chiffres composant mon cube, qui suis je?
Je dirais que tu es {0,1,8,17,18,26,27} !
PS: j'ai une "démo" qui va avec, si ça peut intéresser des gens ?
PPS: tout ça bien entendu sous réserve de pas racontage de conneries de ma part.
Salam
aleikom
oui la limite incluse est 27!
si je me rappelle bien je pense que tu as cités tous les nombres.
balances ta démo
C'est bizarre, je suis pas étonné de lire qu'à part toi, personne d'autre n'a demandé de balancer la "demo"
M'enfin bref, voici comment je vois le truc:
Problème: On cherche A€N tel que:
A^3 = b0*10^0+b1*10^1+...bm*10^m
où A = a0*10^0+a1*10^1+...an*10^n
et b0+b1+...bm = A = a0*10^0+a1*10^1+...an*10^n
et bien sûr ai€[|0;9|] et bi€[|0;9|]
remarque importante: an est le coefficient devant la plus grande des puissance des 10.
Or A = a0*10^0+a1*10^1+...an*10^n
donc A^3 = a0^3*10^0+a1^3*10^1+...an^3*10^n = b0*10^0+b1*10^1+...bm*10^m
de plus, par construction, b0+b1+...bm <= 9(m+1)
donc a0*10^0+a1*10^1+...an*10^n <= 9(m+1)
1er cas: an=0, donc A=0 d'après la remarque (le cas triviale)
2ième cas: an <> 0
1er sous cas: 1<= an <= 2
donc an^3=c0*10^0 où ci€[|0;9|]
donc A^3=...+c0*10^3n = ...+bm*10^m => m=3n
or 1<= an donc 10^n <= an*10^n
donc 10^n <= a0*10^0+a1*10^1+...an*10^n <= 9(m+1)
donc 10^n <= 9(m+1)
donc 10^n <= 9(3n+1)
ie 10^n-27n-9 <= 0
n = 0 convient
n = 1 convient
n => 2 convient plus
2ième sous cas: 3<= an <= 4
donc an^3=c0*10^0 + c1*10^1 où ci€[|0;9|]
donc A^3=...+c1*10^(3n+1) = ...+bm*10^m => m=3n+1
or 3<= an donc 3*10^n <= an*10^n
donc 3*10^n <= a0*10^0+a1*10^1+...an*10^n <= 9(m+1)
donc 3*10^n <= 9(m+1)
donc 3*10^n <= 9(3n+2)
ie 3*10^n-27n-18 <= 0
n = 0 convient
n = 1 convient
n => 2 convient plus
3ième sous cas: 5<= an <= 9
donc an^3=c0*10^0 + c1*10^1 + c2*10^2 où ci€[|0;9|]
donc A^3=...+c2*10^(3n+2) = ...+bm*10^m => m=3n+2
or 5<= an donc 5*10^n <= an*10^n
donc 5*10^n <= a0*10^0+a1*10^1+...an*10^n <= 9(m+1)
donc 5*10^n <= 9(m+1)
donc 5*10^n <= 9(3n+3)
ie 5*10^n-27n-27 <= 0
n = 0 convient
n = 1 convient
n => 2 convient plus
Au final, seuls n=0 et n=1 conviennent,
donc A = a0*10^0+a1*10^1
donc les solution envisageables sont 0,1,...99
en les calculant sous excel par exemple, on trouve A = {0;1;8;17;18;26;27}
PS: il y a sûrement moyen de faire plus court et plus élégant je pense.